Définition
Le nombre \(\pi\) est défini par le rapport de la circonférence d'un cercle par son diamètre
\[ \pi = \frac{\text{Circonférence}}{\text{Diamètre}}\]
On peut alors faire une approximation inférieure et supérieure de ce nombre en calculant le rapport des périmètres des polygones inscrits et circonscrits à un cercle par le diamètre du cercle.
Plus le nombre de côtés des polygones est élevé, plus l'approximation de \(\pi\) est précise.
Le nombre \(\pi\) étant alors défini et connu, on définit la circonférence d'un cercle par la formule suivante utilisant \(\pi\), avec \(r\) le rayon du cercle
\[ C = 2\pi r\]
Sur le même principe, on peut calculer l'aire d'un cercle. En effet, comme vu dans l'exercice GM 17, on peut faire l'approximation que l'aire du cercle correspond à l'aire du polygone inscrit dans le cercle. L'aire du polygone est alors
\[\frac{\text{Périmètre du polygone} \cdot a}{2} = \frac{n \cdot \text{côté} \cdot a}{2}\]
Source : Livre de maths 10e, GM 17
car cela correspond en fait à l'aire d'un triangle dont la base est le côté du polygone et la hauteur \(a\), multiplié par le nombre de côté \(n\) du polygone équivalent au nombre de triangle.
Lorsque le nombre de côté \(n\) devient très grand, le polygone devient un cercle et la hauteur \(a\) devient le rayon \(r\) du cercle. Ainsi,
\[\frac{\text{Périmètre du polygone} \cdot a}{2} = \frac{2 \pi r \cdot r}{2} = \pi r^2 \]
L'aire d'un disque est alors donnée par la formule suivante
\[ A = \pi r^2 \]