Pour rappel
\[ \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, ....\}\]
\[ \mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}\]
\[ \mathbb{Q} = \Big \{ \frac{a}{b} \ | \ a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{N}-\{0\} \Big\}\]
L'année dernière, on a vu que pour additionner ou soustraire deux fractions, il faut faire en sorte d'amplifier les fractions (ou les réduire!) afin qu'elles aient le même dénominateur (le plus petit possible pour que les calculs soient plus simples).
Puis il suffit d'additionner ou de soustraire les numérateurs.
Exemples
\[ \frac{7}{6} + \frac{5}{4} = \frac{14}{12} + \frac{15}{12} = \frac{14 + 15}{12} = \frac{29}{12}\]
\[ \frac{12}{15} - \frac{8}{5} = \frac{4}{5} - \frac{8}{5} = \frac{4-8}{5} = \frac{-4}{5}\]
Multiplication et division
Pour multiplier deux fractions, il suffit de multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Simplifier les fractions avant d'effectuer les multiplications peut s'avérer fort utile!
Exemples
\[ \frac{3}{7} \cdot \frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 5} = \frac{6}{35}\]
\[ \frac{8}{9} \cdot \frac{15}{16} = \frac{8 \cdot 15}{9 \cdot 16} = \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 2} = \frac{5}{6} \]
Pour diviser par une fraction, il suffit de multiplier par son inverse. Pour rappel, deux nombres sont inverses si leur produit vaut 1. Dit autrement, l'inverse d'un nombre est sa fraction retournée.
Exemples
\[ \frac{5}{4} \div \frac{2}{3} = \frac{5}{4} \cdot \frac{3}{2} = \frac {5 \cdot 3}{4 \cdot 2} = \frac{15}{8}\]
\[ \frac{11}{21} \div \frac{33}{14} = \frac{11}{21} \cdot \frac{14}{33} = \frac{11 \cdot 14}{21 \cdot 33} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 3} = \frac{2}{9} \]
Notation scientifique
Pour écrire de grands nombres, ou au contraire des petits, la notation scientifique est utile car elle permet en un coup d'oeil de déterminer l'ordre de grandeur du nombre.
Et en plus, elle prend moins de place.
La notation scientifique est de la forme
\[ a \cdot 10^n\]
avec \(a\) un nombre positif ou négatif dont la valeur absolue est telle que \(1 \le a <10\) et \(n\) est un nombre entier relatif.
Exemples
\[2'398'000'000 = 2,398 \cdot 10^9\]
\[ 0,0000456 = 4,56 \cdot 10^{-5}\]
De plus, en permuttant les nombres, on peut effectuer des calculs plus efficacement en utilisant les propriétés des puissances.
Exemple
\[ \frac{4 \cdot 10^8 \cdot 3 \cdot 10^{-2}}{6 \cdot 10^{-5}} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 10^8 \cdot 10^{-2}} {6 \cdot 10^{-5}} = 2 \cdot 10^{8+ (-2) - (-5)} = 2 \cdot 10^{11} \]
Irrationalité de \(\sqrt{2}\)
Le nombre \(\sqrt{2}\) est irrationnel, c'est à dire qu'on ne peut pas l'écrire sous forme de fraction avec un numérateur entier relatif et un dénominateur entier différent de 0.
Pour le démontrer, nous allons faire l'hypothèse que \(\sqrt {2}\) est rationnel, pour aboutir au fait que cette hypothèse n'a pas de sens. C'est ce que l'on appelle une démonstration par l'absurde.
Hypothèse
\[ \sqrt {2} = \frac{a}{b}, \ \ \ \ \ a \in \mathbb {Z}, b \in \mathbb{N} - \{0\} \]
avec en plus le fait que \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux, pour que \(\frac{a}{b}\) soit la fraction irréductible.
On a alors en élevant au carré
\[ 2 = \frac{a^2}{b^2} \]
Que l'on peut écrire
\[ a^2 = 2 b^2 \]
Ceci signifie que \(a^2\) est pair, donc que \(a\) est pair (penser à la décomposition en produit de facteurs premiers pour s'en convaincre)
On peut alors définir un nouveau nombre \(a'\) tel que \(a = 2a'\) et \(a^2 = 4a'^2\)
Ce qu'on avait avant devient
\[a^2 = 2 b^2\]
\[4a'^2 = 2b^2\]
\[2a'^2 = b^2 \]
Ce qui signifie que \(b^2\) est pair, et \(b\) aussi.
Mais si \(a\) est pair et \(b\) aussi, l'hypothèse de départ selon laquelle \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux pour avoir la fraction irréductible est fausse et le nombre \(\sqrt {2}\) n'est pas rationnel
Il faut donc généraliser les ensembles de nombres que l'on connaît pour y inclure aussi des nombres que l'on ne peut pas écrire en fraction, comme \(\sqrt {2}, \pi, \pi + 2, ...\) avec l'ensemble des nombres réels \(\mathbb{R}\).
Passer du code décimal périodique en code fractionnaire
Voici un exemple montrant comment transformer un code décimal périodique en code fractionnaire avec le nombre \(2. \overline{45}\) que l'on appellera \(n\).
\[ n = 2. \overline {45} \]
Puisqu'il y a deux chiffres dans la partie périodique, on va multiplier ce nombre par \(100\)
\[ 100n = 245. \overline {45} \]
Si on retire une fois le nombre de chaque côté de l'égalité précédente, on obtient
\[ 100 n - n = 245. \overline {45} - 2. \overline {45}\]
\[ 99n = 243 \]
Et on obtient le nombre en code fractionnaire que l'on peut réduire
\[ n = \frac{243}{99} = \frac{27}{11} \]