On a déjà vu l'ensemble \(\mathbb{N}\) contenant tous les nombres entiers naturels \(\mathbb{N} = \{ 0, 1, 2, 3, ... \}\)
On peut étendre cet ensemble \(\mathbb{N}\) à l'ensemble de tous les nombres entiers relatifs \(\mathbb{Z}\), contenant les nombres positifs et les nombres négatifs. On a alors \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\) avec \(\mathbb{Z} = \{ ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... \} \)
De manière plus générale, les nombres n'ont pas besoin d'être entiers, mais sont composés d'une valeur absolue (distance à zéro) et d'un signe (+ ou -).
Exemple
\((+2)\) est de signe positif et sa valeur absolue est 2.
\((-4)\) est de signe négatif et sa valeur absolue est 4.
Addition et soustraction de nombres relatifs
Pour additionner des nombres relatifs, on procède ainsi.
Si les nombres sont de même signe:
- On additionne les valeurs absolues des nombres
- On donne au résultat le signe commun de ces nombres
Si les nombres sont de signes différents:
- On calcule la différence entre les valeurs absolues des nombres
- On donne au résultat le signe du nombre de départ qui avait la plus grande valeur absolue
Exemples
\((+4) + (+3) = (+7)\)
\((-4) + (+3) = (-1)\)
\((+4) + (-3) = (+1)\)
\((-4) + (-3) = (-7)\)
Pour soustraire deux nombres relatifs, il suffit d'appliquer le fait que
Soustraire, c'est additionner l'opposé
pour se ramener à l'addition que l'on connaît déjà. Mais il est nécessaire de définir l'opposé d'un nombre.
Définition: deux nombres sont opposés si leur somme est nulle.
Dit autrement, les nombres ont la même valeur absolue mais sont de signes opposés. Par exemple, \((+4)\) et \((-4)\) sont opposé car \((-4) + (+4) = 0\)
Exemples
\((+2) - (+3) = (+2) + (-3) = (-1)\)
\((-5) - (-7) = (-5) + (+7) = (+2)\)
D'autres exemples encore d'addition et de soustraction
Multiplication et divison
Pour multiplier ou diviser des nombres relatifs, on procède ainsi
- On effectue l'opération sur les valeurs absolues des nombres
- On donne au résultat le signe positif si les deux nombres sont de même signe et le signe négatif si les deux nombres sont de signes différents.
Exemples
\((+5) \cdot (+3) = (+15)\)
\((-3) \cdot (+4) = (-12)\)
\( (-8) \div (-4) = (+2) \)