Critères de divisibilité

Un nombre naturel est divisible par 

  • 2, s'il est pair (se termine par 0, 2, 4, 6, ou 8);
  • 3, si la somme des chiffres qui composent le nombre est divisible par 3;
  • 4, si le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 4 (aussi s'il se termine par 00);
  • 5, s'il se termine par 0 ou 5;
  • 6, s'il est divisible par 2 et 3;
  • 9, si la somme des chiffres qui composent le nombre est divisible par 9;
  • 10, s'il se termine par 0;
  • 25, s'il se termine par 00, 25, 50 ou 75;
  • \(n\cdot m\) avec \(n\) et \(m\) premiers entre eux, si le nombre est divisible par \(n\) et par \(m\). 

 

Priorités des opérations

Lorsqu'il y a plusieurs opérations dans un calcul, on effectue dans l'ordre

  • les parenthèses;
  • les puissances et les racines;
  • les produits et les divisions;
  • les additions et les soustractions.

 

Exemple

\( \sqrt{144} - (5-3)^2 \cdot 12 \div 6 =  \sqrt{144} - 2^2 \cdot 12 \div 6 = 12 - 4 \cdot 12  \div 6 = 12 - 48 \div 6 =  12 - 8 = 4\)

 

 

Nombre premier

Par définition, un nombre premier est un nombre naturel qui a exactement deux diviseurs, 1 et lui-même.

Les nombres 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... sont des nombres premiers. Il y en a une infinité, voici une liste des 1000 premiers nombres premiers.

Chaque nombre naturel peut être décomposé de manière unique en un produit de facteurs premiers.

 

Exemples :  

\( 9 = 3^2 \)

\(10 = 2 \cdot 5\)

\(19 = 19\)

\(7'800 = 2^ 3 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 13\)

 

Pour y parvenir, on peut rechercher des diviseurs du nombre, puis essayer encore de décomposer les diviseurs obtenus.

 

Exemple

\(720 = 72  \cdot 10 = 8 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 5 = 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5 =   2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 \)

 

Ou on peut diviser le nombre par le plus petit nombre premier que l'on connaît tant que c'est possible, avant de passer au nombre premier suivant comme diviseur.

 

Exemple

\(720 = 2 \cdot 360 = 2 \cdot 2 \cdot 180 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 90  = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 45 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 15 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 \)

 

PPMC

Le PPMC de deux nombres (ou plus) est le Plus Petit Multiple Commun de ces nombres. On peut l'obtenir par ces deux méthodes:

 

Liste des multiples

On écrit l'ensemble des multiples des nombres en questions et on repère le plus petit en commun.

 

Exemple

\( M_{6} = \{ 6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 ; 36; ...  \} \)

\( M_{15} = \{  15 ; 30 ; 45 ; ... \} \)

\(PPMC (6 ; 15) = 30\)

 

Décomposition en produit de facteurs premiers

Pour des nombres plus grands, on les décompose en produit de facteurs premiers et on construit le PPMC en prenant tous les nombres premiers qui apparaissent dans les décompositions avec leur plus grande puissance.

 

Exemple

\( 3960 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 11\)

\( 462 = 2 \cdot 3 \cdot  7 \cdot 11\)

 \(PPMC (3960; 462) = 2^3 \cdot 3^2\cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 = 27'720\)

 

 

PGDC

Le PGDC de deux nombres (ou plus) est le Plus Grand Diviseur Commun de ces nombres. On peut l'obtenir par ces deux méthodes:

 

Liste des diviseurs

On écrit l'ensemble des diviseurs des nombres en questions et on repère le plus grand en commun.

 

Exemple

\(D_{6} = \{ 1; 2; 3; 6   \}\)

\(D_{15} = \{ 1; 3 ; 5; 15   \}\)

\(PGDC (6;15) = 3\)

 

Décomposition en produit de facteurs premiers

Pour des nombres plus grands, on les décompose en produit de facteurs premiers et on construit le PGDC en prenant tous les nombres premiers qui apparaissent dans les deux décompositions avec la plus petite puissance.

 

Exemple

\( 3960 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 11\)

\( 462 = 2 \cdot 3 \cdot  7 \cdot 11\)

\(PGDC (3960 ; 462) = 2 \cdot 3 \cdot 11 = 66\)