On a déjà vu l'ensemble \(\mathbb{N}\) contenant tous les nombres entiers naturels \(\mathbb{N} = \{ 0, 1, 2, 3, ... \}\)
et \(\mathbb{Z}\) contenant les nombres entiers positifs et négatifs \(\mathbb{Z} = \{ ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... \} \)
On peut encore étendre ces ensembles à l'ensemble des nombres rationnels, noté \(\mathbb{Q} \).
Définition : un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire comme le quotient d'un nombre entier relatif par un nombre entier non nul.
On peut le noter ainsi : \(\mathbb{Q} = \{ \frac{a}{b} | a\in \mathbb{Z}; b \in \mathbb{Z}^* \} \)
Exemples
\( 2 \in \mathbb{Q} \) car \(2 = \frac{2}{1}\)
\( -1,4 \in \mathbb{Q} \) car \(-1,4 = \frac{-14}{10} = \frac{-7}{5}\)
\( \pi \notin \mathbb{Q} \)
On remarque alors qu'il existe plusieurs manières d'écrire un nombre rationnel en fraction; ces différentes manières s'obtenant en multipliant ou divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre. Il existe alors une unique manière d'écrire un nombre rationnel donné en code fractionnaire avec des nombres entiers les plus petits possible.
Définition : une fraction qui ne peut plus être simplifiée est une fraction irréductible.
Dit autrement, le plus petit diviseur commun entre le numérateur et dénominateur est \(1\) pour une fraction irréductible.
Exemples
\(\frac{12}{3} = 4\)
\(\frac{10}{6} = \frac {5}{3}\)
\(\frac{86'760}{134'640} = \frac{2}{3}\)
Addition et soustraction de fraction
Pour additionner ou soustraire deux fractions, il faut les amplifier ou les réduire de manière à avoir le même dénominateur, puis on peut additionner ou soustraire les numérateurs.
Remarques : il peut être utile de réduire les fractions si elles ne sont pas données en code fractionnaire irréductible; cela permet de travailler avec des plus petits nombres. A partir des codes fractionnaires irréductibles, on peut trouver le dénominateur commun en calculant le PPMC des dénominateurs. Le résultat obtenu peut parfois encore être réduit.
Exemples
\(\frac{3}{4} + \frac{5}{2} = \frac{3}{4} + \frac{10}{4} = \frac{3+10}{4} = \frac{13}{4}\)
\(\frac{2}{7} + \frac{3}{14} = \frac{4}{14} + \frac{3}{14} = \frac{4+3}{14} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}\)
\(\frac{24}{36} - \frac{12}{48} = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4}{6} - \frac{3}{6} = \frac{4-3}{6}= \frac{1}{6}\)