Introduction
Alerte au lac!
Imaginons le problème suivant:
Un sauveteur (S) souhaite secourir un nageur (N) le plus rapidement possible.
Quel chemin doit-il emprunter, sachant qu'il se déplace à 3 m/s dans le sable et 1 m/s dans l'eau ?
En calculant le temps de parcours en fonction de l allant de 0 à 20, on remarque que le temps le plus court est de t=22.19 s pour la longueur l = 16 m.
Principe de Fermat et réfraction
On à déjà vue que le principe de Fermat dit que la lumière emprunte toujours le chemin le plus rapide. Lorsque la lumière ne se déplace pas à la même vitesse partout car elle change de milieu transparent, le chemin le plus rapide entre deux points donnés devient alors une ligne brisée. Il s'agit en fait d'un compromis entre le chemin le plus court, en ligne droite entre les deux points, et le chemin passant le moins dans le milieu le plus lent, mais qui est plus long au total.
Indice de réfraction
Puisque la lumière ne va pas à la même vitesse dans tous les milieux, il est utile de définir l'indice de réfraction, noté n, par le rapport suivant.
\[ n = \frac{ \textrm{vitesse de la lumière dans le vide}}{\textrm{vitesse de la lumière dans le milieu}}\]
avec la vitesse de la lumière dans le vide valant environ \( 3 \cdot 10^8 \) m/s
Remarques
L'indice de réfraction d'un milieu est toujours plus grand ou égal à 1.
Plus l'indice est grand, plus la vitesse est lente.
Construction de Maxwell
Et voici la même chose sans le texte pour plus facilement tester quelques exemples.
Remarque
Comme vu aux travaux pratiques, on remarque que
Si \(n_1<n_2\), alors \(\alpha_1>\alpha_2\)
Si \(n_1>n_2\), alors \(\alpha_1<\alpha_2\)
Pour ce deuxième cas, \(\alpha_2\) ne peut toutefois pas dépasser 90°. Il existe alors une valeur critique pour l'angle d'incidence \(\alpha_1\), notée \(\lambda\), dépendant des deux milieux et telle que si \(\alpha_1>\lambda\), alors il y a réflexion totale.
Et par calcul?
La loi de Snell Descartes exprime le lien entre les indices de réfraction des milieux et les angles d'incidence et de réfraction
\[ n_1 \cdot \sin{\alpha_1} = n_2 \cdot \sin{\alpha_2}\]
Ainsi, on peut calculer une information manquante connaissant les autres, ou même calculer l'angle limite de réfraction.
Arc-en-ciel