Puissance
Par définition, la puissance d'un nombre correspond au produit de ce nombre avec lui-même un certain nombre de fois.
On note
\(a^n = \underbrace {a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{n \text{ fois}}\)
\(a\) est la base et \(n\) est l'exposant
Remarques
\(a^0 = 1\)
\(a^1 = a\)
\(a^2\) se lit "a au carré" et \(a^3\) se lit "a au cube"
Propriétés
\(a^n \cdot a^m = a^{n+m}\)
\(a^n \div a^m = a^{n-m}\)
\((a^n)^m = a^{n \cdot m}\)
\((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\)
\( ( \frac{a}{b} )^n = \frac{a^n}{b^n}\)
Ces propriétés découlent naturellement de la définition de la puissance
\(a^n \cdot a^m = \underbrace {a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{n \text{ fois}} \cdot \underbrace {a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{m \text{ fois}} = \underbrace {a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{n +m \text{ fois}} = a^{n+m}\)
\(a^n \div a^m = \underbrace {a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{n \text{ fois}} \div \underbrace {a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{m \text{ fois}} = \underbrace {a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{n - m \text{ fois}} = a^{n-m}\)
\((a^n)^m = \underbrace {a^n \cdot a^n \cdot a^n \cdot ... \cdot a^n}_{m \text{ fois}} = \underbrace { \underbrace {a \cdot a \cdot a ... \cdot a}_{n \text{ fois}} \cdot \underbrace {a \cdot a \cdot a ... \cdot a}_{n \text{ fois}} \cdot \underbrace {a \cdot a \cdot a ... \cdot a}_{n \text{ fois}} \cdot ... \cdot \underbrace {a \cdot a \cdot a ... \cdot a}_{n \text{ fois}}}_{m \text{ fois}} = \underbrace {a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{m \cdot n \text{ fois}} = a^{n \cdot m}\)
\((a \cdot b)^n = \underbrace {a \cdot b \cdot a \cdot b \cdot a \cdot b \cdot ... \cdot a \cdot b}_{n \text{ fois}} = \underbrace {a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{n \text{ fois}} \cdot \underbrace{b \cdot b \cdot b \cdot ... \cdot b}_{n \text{ fois}} = a^n \cdot b^n\)
\( ( \frac{a}{b} )^n = \underbrace {\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot ... \cdot \frac{a}{b}}_{n \text{ fois}}= \frac {\overbrace {a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a}^{n \text { fois}} } {\underbrace {b \cdot b \cdot b \cdot ... \cdot b}_{n \text{ fois}} }=\frac{a^n}{b^n}\)
Racine
Par définition, la racine carrée de \(a\), notée \(\sqrt{a}\), est le nombre tel que son carré vaut \(a\).
Remarques
Un nombre réel négatif n'a pas de racine carré car aucun nombre réel élevé au carré donne un résultat négatif.
On peut aussi définir des racine cubiques ou même nième.
Propriétés
\(\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt {b}\)
\(\sqrt {\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
Ces propriétés découlent naturellement de celles des puissances si l'on voit les racines comme des puissances fractionnaires (pas au programme de l'école obligatoire)
Extraction des carrés parfaits
On utilise les propriétés des racines entre autres pour extraire au maximum les carrés parfaits et réduire au maximum (un peu comme le code fractionnaire irréductible)
Exemples
\(\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt {2} = 4\sqrt{2}\)
\(\sqrt{720} = \sqrt {36 \cdot 20} = \sqrt {36 \cdot 4 \cdot 5} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 6 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} = 12 \sqrt{5} \)