Afin de calculer plus rapidement et pour pouvoir factoriser des expressions littérales, il est indispensable de connaître les identités remarquables suivantes.

\[ (a+b)^2 = a^2 +2ab +b^2\]

\[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]

\[(a+b)(a-b) = a^2 - b^2\]

On remarque qu'il n'y pas d'identité remarquable correspondant à \(a^2 +b^2\).

Par contre, on peut généraliser la formule d'une somme à la puissance \(n\) ainsi.

\[  (a+b)^n  = \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!(n-k)!} a^{n-k}b^{k}\]

Factorisation

Définition : factoriser, c'est transformer une somme en produit.

Il existe plusieurs manière de factoriser une expression littérale.

Par mise en évidence

On cherche un facteur commun à chaque terme pour transformer l'expression en produit; c'est exactement le contraire de la distribution.

Exemples

\[ 4x^2 + 6x = 2x (2x+3)\]

\[5x^3 +10x^2y = 5x^2 (x + 2y)\] 

Grâce aux identités remarquables

On observe si on retrouve une des identités remarquables dans le polynôme réduit.

Exemples

\[ x^2 + 8x + 16 = (x+4)^2\]

\[ 9x^2 -30x +25 = (3x-5)^2\]

\[ 2x^2-36 = (\sqrt{2}x-6)(\sqrt{2}x+6)\]

Par la décomposition du trinôme

Lorsqu'on a un trinôme unitaire, on cherche deux nombres tels que leur produit correspond au nombre sans \(x\) et leur somme correspond au coefficient de \(x\).

Exemples

\[ x^2 + 6x + 8 =(x+2)(x+4) \]

\[ x^2 - 2x -15 = (x-5)(x+3)\]

Par groupements

On effectue une factorisation partielle en espérant obtenir un facteur commun dans les nouveaux termes afin de faire une mise en évidence.

Exemples

\[ x^3+2x^2 + 3x + 6 =x^2 (x+2) + 3(x+2) = (x^2+3)(x+2)\]

\[ 2x -2a + 4 -ax = 2(x+2) -a(x+2) = (2-a)(x+2)\]

Par plusieurs de ces méthodes

Souvent, il faut utiliser plusieurs de ces méthodes pour une factorisation complète.

Exemples 

\[ x^4 -2x^2 -8=(x^2-4)(x^2+2) = (x-2)(x+2)(x^2+2) \]

\[ 2x^3 +2x^2 -24x =2x (x^2+x - 12) = 2x (x-3)(x+4)\]