Pour rappel, voici les différents ensembles de nombres déjà vus.

\( \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, ....\}\) l'ensemble des nombres entiers naturels.

\( \mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}\) l'ensemble des nombres entiers relatifs.

\( \mathbb{Q} = \Big \{ \frac{a}{b} \  | \  a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{N}-\{0\}    \Big\}\) l'ensemble de nombres rationnels, c'est à dire que l'on peut écrire en fraction.

\(\mathbb{R}\) l'ensemble de tous les nombres, avec une liste de décimale finie (nombre rationnel), infinie périodique (nombre rationnel) ou infinie non périodique (nombre irrationnel).

Passer du code décimal périodique en code fractionnaire

Voici un exemple montrant comment transformer un code décimal périodique en code fractionnaire avec le nombre \(2. \overline{45}\) que l'on appellera \(n\).

\[ n = 2. \overline {45} \]

Puisqu'il y a deux chiffres dans la partie périodique, on va multiplier ce nombre par \(100\)

\[ 100n = 245. \overline {45} \]

Si on retire une fois le nombre de chaque côté de l'égalité précédente, on obtient

\[ 100 n - n = 245. \overline {45} - 2. \overline {45}\]

\[ 99n = 243 \]

Et on obtient le nombre en code fractionnaire que l'on peut réduire

\[ n = \frac{243}{99} = \frac{27}{11} \]

Irrationalité de \(\sqrt{2}\)

Le nombre \(\sqrt{2}\) est irrationnel, c'est à dire qu'on ne peut pas l'écrire sous forme de fraction avec un numérateur entier relatif et un dénominateur entier différent de 0.

 Pour le démontrer, nous allons faire l'hypothèse que \(\sqrt {2}\) est rationnel, pour aboutir au fait que cette hypothèse n'a pas de sens. C'est ce que l'on appelle une démonstration par l'absurde.

Hypothèse

\[ \sqrt {2} = \frac{a}{b}, \ \ \ \ \ a \in \mathbb {Z}, b \in \mathbb{N} - \{0\} \]

avec en plus le fait que \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux, pour que \(\frac{a}{b}\) soit la fraction irréductible.

On a alors en élevant au carré

\[ 2 = \frac{a^2}{b^2} \]

Que l'on peut écrire 

\[ a^2 = 2 b^2 \]

Ceci signifie que \(a^2\) est pair, donc que \(a\) est pair (penser à la décomposition en produit de facteurs premiers pour s'en convaincre)

On peut alors définir un nouveau nombre \(a'\) tel que \(a = 2a'\) et \(a^2 = 4a'^2\)

Ce qu'on avait avant devient

\[a^2 = 2 b^2\]

\[4a'^2 = 2b^2\]

\[2a'^2 = b^2 \]

Ce qui signifie que \(b^2\) est pair, et \(b\) aussi.

Mais si \(a\) est pair et \(b\) aussi, l'hypothèse de départ selon laquelle \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux pour avoir la fraction irréductible est fausse et le nombre \(\sqrt {2}\) n'est pas rationnel

Le nombre \(\pi\)

On a vu la définition du nombre \(\pi\), nombre irrationnel, par le rapport de la circonférence \(C\) d'un cercle par son diamètre \(d\)

\[ \pi = \frac{C}{d}\]

Mais il existe d'autres manières de l'exprimer et qui permettent de calculer ses décimales plus efficacement avec des séries (sommes infinies) convergentes (dont le résultat se rapproche d'une valeur donnée).

Par exemple, avec la série de Leibniz

\[\pi = \frac{4}{1} -\frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} -\frac{4}{11} + \frac{4}{13} - ...\]

Avec la série de Leonhard Euler

\[ \pi = 2+ 2 \cdot \frac{1}{3} + 2\cdot  \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 5} +2 \cdot  \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3 \cdot 5 \cdot 7} + 2 \cdot  \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 } +... \]

Ou encore avec la série de Nilakantha

\[\pi = 3 + \frac{4}{2 \cdot 3 \cdot 4} -  \frac{4}{4 \cdot 5 \cdot 6} + \frac{4}{6 \cdot 7 \cdot 8} - \frac{4}{8 \cdot 9 \cdot 10} + ...\]

Essaye de calculer la valeur de ses sommes pour 1, 2, 3, ... termes et compare tes résultats avec la valeur de \(\pi\) de ta calculatrice.

Si tu additionnes une infinité de termes, tu obtiens la valeur exacte de \(\pi\)

Ensemble infini (non)dénombrable

Nous avons vu plusieurs ensembles de nombres. Ce qui est paradoxal, c'est que l'ensemble \(\mathbb{N}\) est infini et contient moins d'élément que l'ensemble \(\mathbb{Z}\) qui est aussi infini ! Ces deux ensembles sont dénombrables, c'est à dire que l'on peut numéroter les uns après les autres les éléments de l'ensemble.

Georg Cantor, mathématicien pionnier de la théorie des ensembles, a déclaré  "L'arithmétique des infinis est différente de celle des finis".

Selon le tableau suivant, on montre que l'ensemble des nombres rationnels \(\mathbb{Q}\) est aussi dénombrable.

Cependant, l'ensemble des nombres réels \(\mathbb{R}\) ne l'est pas.

Source: wikipédia