Pour résoudre une équation du 2ème degré, il faut d'abord l'écrire sous la forme suivante
\[ax^2 + bx + c = 0\]
Puis, deux méthodes différentes peuvent être utilisées.
Par factorisation
Il faut factoriser au maximum l'expression pour obtenir des sous-problèmes de degré un, plus faciles à résoudre.
Exemple
\[ x^2 + 2x - 24 = 0\]
\[ (x +6)(x-4) = 0 \]
Puisqu'il s'agit d'une multiplication, il suffit qu'un facteur soit nul pour que le produit soit nul.
Soit \( x+6 = 0\) donc \(x = -6\)
Soit \(x-4 = 0\) donc \(x = 4\)
\[S = \{-6 ; 4\}\]
Remarque
Cette méthode peut être difficile à appliquer car certaines expressions sont difficiles à factoriser et d'autres sont même impossible. Par contre, elle a l'avantage de pouvoir s'appliquer à des équations de degré supérieur à 2.
Exemple
\[ x^3 -4x = 0\]
\[ x (x-2)(x+2) = 0\]
\[ S =\{-2; 0; 2\}\]
Par la formule du discriminant
On peut calculer le discriminant \(\Delta\) défini par la formule suivante.
\[\Delta = b^2-4ac\]
- Si \(\Delta <0 \), l'équation n'a pas de solution ( \( S =\emptyset \))
- Si \( \Delta = 0 \), l'équation a une solution double donnée par \(x = \frac{-b}{2a}\)
- Si \( \Delta >0 \), l'équation a deux solutions qui sont données par \( x_1 = \frac {-b + \sqrt{\Delta}} {2a}\) et \( x_2 = \frac {-b - \sqrt{\Delta}} {2a}\)
Exemple
\[ x^2 + 2x - 24 = 0\]
\[ \Delta = b^2-4ac = 2^2 -4\cdot 1 \cdot (-24) = 100 \]
\[ x_1 = \frac {-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2 + 10}{2} = 4\]
\[ x_2 = \frac {-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac {-2-10}{2} = -6\]
\[ S = \{-6 ; 4\}\]
Démonstration
On peut comprendre la formule du discriminant en faisant une mise en évidence forcée par \(a\), en complétant le carré, puis en appliquant une identité remarquable.
\[ ax^2 + bx + c= 0 \]
\[ a \Biggl( x^2 + \frac {b}{a} x + \frac{c}{a} \Biggr) = 0 \]
\[ a \Biggl( \Bigl(x+\frac{b}{2a} \Bigr)^2 - \Bigl(\frac{b}{2a} \Bigr)^2 + \frac{c}{a} \Biggr) = 0 \]
\[ a \Biggl( \Bigl(x+\frac{b}{2a} \Bigr)^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} \Biggr) = 0 \]
\[ a \Biggl( \Bigl(x+\frac{b}{2a} \Bigr)^2 - \frac{b^2-4ac}{4a^2} \Biggr) = 0 \]
- Si \(b^2-4ac < 0 \), on ne peut pas aller plus loin car on a une expression de la forme \(a^2 +b^2\) qui n'est pas factorisable.
- Si \(b^2-4ac = 0\), on a
\[ a \Bigl(x+\frac{b}{2a} \Bigr)^2 = 0 \]
\[ S = \Bigl\{ \frac{-b}{2a} \Bigr\}\]
- Si \(b^2-4ac > 0 \), on a une expression de la forme \(a^2-b^2\) que l'on peut factoriser.
\[ a \Biggl( x+\frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \Biggr) \Biggl( x+\frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \Biggr) = 0 \]
\[ a \Biggl( x + \frac{b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \Biggr) \Biggl( x + \frac{b- \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \Biggr) = 0 \]
\[ S = \Bigl\{ \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac} }{2a} ; \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac} }{2a} \Bigr\} \]
Système d'équations
Un système d'équation est un ensemble d'équations. Souvent, on a autant d'équation que d'inconnues. Par exemple
\[ \left\{ \begin {array} {r r c l}2x &+3y &= &17\\x &-2y & =& -9 \end{array} \right. \]
Résolution par substitution
Le but est de déterminer l'expression d'une inconnue en fonction de l'autre, puis de remplacer cette inconnue dans l'autre équation afin d'obtenir une équation à une seule inconnue.
\[ \left\{ \begin {array} {r r c l }2x &+3y &=& 17\\x &-2y & =& -9 \end{array} \right. \]
\[ \left\{ \begin {array} {r r c l}2x &+3y &= &17\\ & x & =& 2y -9 \end{array} \right. \]
\[ \left\{ \begin {array} {r r c l}2(2y-9) &+3y &=& 17\\ & x & = &2y -9 \end{array} \right. \]
\[ \left\{ \begin {array} {r r c l} 4y -18 &+3y &= &17\\ & x & = &2y -9 \end{array} \right. \]
\[ \left\{ \begin {array} {r c l} 7y &=& 35\\ x & = & 2y -9 \end{array} \right. \]
\[ \left\{ \begin {array} {r c l}y &= & 5\\x & = & 2y -9 \end{array} \right. \]
\[ \left\{ \begin {array} {r c l}y &= & 5\\x & = & 2\cdot (5) -9 = 1 \end{array} \right. \]
\[ S = \{ (1;5)\} \]
Résolution par combinaison linéaire
On peut multiplier chaque ligne par un certain nombre avant d'en faire l'addition.
\[ \left\{ \begin {array} {r r c l }2x & +3y &= & 17\\x & -2y & =& -9 \end{array} \right. \]
\[ \left\{ \begin {array} {r r c l }2x & +3y &=& 17 \quad | \cdot 1 \\x & -2y & = & -9 \quad| \cdot (-2) \end{array} \right. \]
\[ \left\{ \begin {array} {r r c l }2x & +3y &= &17\\-2x & +4y & =& 18 \end{array} \right. \]
\[ \begin {array} {r r c l } & 7y &= & 35 \end{array} \]
\[ \begin {array} {r r c l } & y &= &5 \end{array} \]
Et
\[ \left\{ \begin {array} {r r c l }2x & +3y &= & 17\\x & -2y & = &-9 \end{array} \right. \]
\[ \left\{ \begin {array} {r r c l }2x & +3y &=& 17 \quad | \cdot 2 \\x & -2y & =& -9 \quad| \cdot 3 \end{array} \right. \]
\[ \left\{ \begin {array} {r r c l }4x & +6y &=& 34\\3x & -6y & =& -27 \end{array} \right. \]
\[ \begin {array} {r r c l } & 7x &=& 7 \end{array} \]
\[ \begin {array} {r r c l } & x&= &1\end{array} \]
\[ S = \{ (1;5)\} \]
Et par voie graphique
Graphiquement, chaque équation peut être représentée dans un système d'axe. Lorsque \(x\) et \(y\) sont du premier degré, on a alors deux droites. La solution du système d'équation correspond aux coordonnées du point d'intersection des deux droites.
On remarque que si les droites sont parallèles et non confondues, il n'y a pas d'intersection et donc pas de solution.
Si les droites sont confondues, il y a une infinité de solutions; tous les points de la droite définis par l'équation de la droite.