Des droites parallèles déterminent sur des droites sécantes des segments proportionnels.
Les triangles \(OAA'\) et \(OBB'\) sont semblables. En effet, il existe une homothétie de centre \(O\) pour passer de l'un à l'autre. On a donc les rapports de proportionnalité suivants:
\[\frac{OB}{OA} = \frac{OB'}{OA'} = \frac{BB'}{AA'}\]
\[\frac{OA}{AA'} = \frac{OB}{BB'} \]
\[...\]
Mais on a aussi les rapports
\[\frac{AB}{OA} = \frac{A'B'}{OA'}\]
Où \(AB\) et \(A'B'\) ne correspondent pas à un côté de triangle! On peut écrire d'autres rapports faisant intervenir des segments (qui ne sont pas des côtés de triangle) des droites sécantes mais il n'y aura pas d'égalité avec les segments des droites parallèles.
Pour justifier ces rapports de segments, on part des rapports de proportionnalités des triangles semblables.
\[ \frac{OB}{OA} = \frac{OB'}{OA'}\]
\[\frac{OA + AB}{OA} = \frac{OA' + A'B'}{OA'}\]
\[ 1 + \frac {AB}{OA} = 1 + \frac{A'B'}{OA'}\]
\[\frac{AB}{OA} = \frac{A'B'}{OA'}\]
Théorème de Thalès généralisé
On a toujours le même énoncé;
Des droites parallèles déterminent sur des droites sécantes des segments proportionnels.
On a alors les rapports
\[\frac{AB}{BC} = \frac{A'B'}{B'C'}\]
\[ \frac{AB}{AC} = \frac {A'B'}{A'C'} \]
\[ \frac {A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} \]
\[ ... \]
De nouveau, on ne peut alors pas faire intervenir les segments \(AA'\), \(BB'\) et \(CC'\). On peut démontrer ces rapports avec la même justification que précédemment, en définissant l'intersection des droites sécantes et par proportionnalité des triangles semblables.
Théorèmes métriques
Soit le triangle ABC rectangle en C. La hauteur issue de C coupe AB en H. Les triangles ABC, ACH et CBH sont semblables.
Théorème d'Euclide
Par proportionnalité, on a les rapports suivants
\[\frac{AB}{AC} = \frac{AC}{AH} \iff AC^2 = AH \cdot AB\]
\[\frac{AB}{BC} = \frac{BC}{BH} \iff BC^2 = BH \cdot AB\]
Les deux relations obtenues avant représentent le théorème d'Euclide (théorème de la cathète):
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur d'une cathète égale le produit de la longueur de sa projection orthogonale sur l'hypoténuse par la longueur de l'hypoténuse.
\[ AC^2 = AH \cdot AB\]
\[ BC^2 = BH \cdot AB\]
Théorème de la hauteur
Par proportionnalité, on a aussi les rapports suivants
\[\frac{CH}{HA} = \frac{BH}{CH} \iff CH^2 = BH \cdot HA\]
Cette relation correspond au théorème de la hauteur:
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de la hauteur issue de l'angle droit égale au produit des longueurs des segments que cette hauteur détermine sur l'hypoténuse.
\[ CH^2 = BH \cdot HA\]
Théorème de Pythagore
A l'aide des deux relations du théorème d'Euclide, on remarque
\[AC^2 +BC^2 = AB \cdot AH + AB \cdot BH = AB \cdot (AH + HB) = AB^2\]
ce qui correspond au théorème de Pythagore:
Dans un triangle rectangle, la somme des carrés des longueurs des cathètes égale le carré de la longueur de l'hypoténuse.
\[AC^2 + BC^2 = AB^2 \]