L'équation d'une droite dans le plan est de la forme

\[ y = ax + b\]

avec \(a\) représentant la pente de la droite et \(b\) l'ordonnée à l'origine.

La pente \(a'\) de la perpendiculaire à la droite de pente \(a\) est donnée par 

\[a' =-  \frac{1}{a}\]

Connaissant deux points A et B définis par leurs coordonnées, il est possible de calculer la pente entre ces deux points, puis de calculer l'ordonnée à l'origine correspondant à cette droite.

Exemple

Soit le point \(A(4;2)\) et le point \(B(8;7)\).

On calcule la pente passant par ces deux points

\[ a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac {7-2}{8-4} = \frac{5}{4} = 1.25\]

On sait maintenant que la droite passant par \(A\) et \(B\) est de la forme

\[ y = 1.25 x + b\]

Cela correspond à toutes les droites parallèles ayant une pente de \(1.25\).

Il nous reste à calculer la valeur de \(b\), l'ordonnée à l'origine, telle que la droite passe par \(A\) et \(B\).

Cela signifie que les coordonnées de \(A\) et celles de \(B\) satisfont l'équation de la droite.

Prenant par exemple le fait que la droite passe par \(A(4;2)\), on alors

\[ y = 1.25x +b\]

\[ 2 = 1.25 \cdot 4 + b\]

\[ b = -3\]

L'équation de la droite passant par \(A\) et \(B\) est alors

\[ y = 1.25 x -3\]

De la même manière, il est possible de déterminer l'équation de la droite perpendiculaire à la précédente et passant par le point que l'on veut. Sa pente est 

\[ a' = - \frac{1}{a} = -\frac{1}{1.25} = \frac{4}{5}\]

et l'ordonnée à l'origine se calcule grâce au point par laquelle on veut faire passer cette droite.

Equation paramétrique

Une équation paramétrique du premier degré est une équation pour laquelle on chercher la solution de notre inconnue, \(x\), mais selon les valeurs possibles d'un paramètre, \(m\).

Pour résoudre une équation paramétrique, il faut

• Définir l'ensemble de définition \(ED\) de l'inconnue et l'ensemble de variation \(EV\) du paramètre.

C'est à dire, déterminer les valeurs permises pour l'inconnue et le paramètre a priori. En effet, certaines valeurs peuvent poser problème si elles apparaissent au dénominateur par exemple, ce qui donnerait une division par \(0\) et ferait que l'équation n'a pas de sens. Il est utile de factoriser les expressions pour mieux voir les valeurs qui peuvent poser problème.

• Effectuer du calcul littéral afin d'obtenir la forme de base de l'équation paramétrique \( a x = b\)

Avec \(a\) et \(b\) des expressions contenant peut être le paramètre \(m\). De nouveau, il est utile pour la suite de factoriser au maximum les expressions \(a\) et \(b\).

• Donner les ensembles de solutions pour \(x\) selon les valeurs du paramètre \(m\).

Attention à tenir compte des valeurs permises selon les ensembles de définition et de variation et d'éviter les divisions par \(0\).

Exemple

Soit l'équation paramétrique suivante

\[\frac{x+1}{m-1} - \frac{x-1}{m} = \frac{mx-1}{m^2-m}\]

On remarque que le paramètre \(m\) apparaît aux dénominateurs. Pour que l'équation ait du sens, il ne faut pas que ces dénominateurs soient nuls. En factorisant, on obtient

\[\frac{x+1}{m-1} - \frac{x-1}{m} = \frac{mx-1}{m(m-1)}\]

Le paramètre \(m\) peut donc être n'importe quelle valeur, sauf \(0\) et \(1\). Il n'y a pas de restriction particulière pour l'inconnue \(x\) car elle n'apparaît pas au dénominateur. On a alors

\[ED = IR  \qquad  EV = IR-\{0;1\}\]

Il faut maintenant effectuer un peu de calcul littéral pour écrire l'équation sous sa forme de base.

En multipliant par \((m-1)\) et \(m\), on obtient

\[m(x+1) -(m-1)(x-1) = mx-1\]

\[mx + m-mx+m+x-1 = mx-1\]

\[x-mx = -2m\]

\[(1-m)x = -2m\]

Pour obtenir la valeur de \(x\), on a envie de diviser par \((1-m)\), mais il faut s'assurer que ce n'est pas \(0\). Selon \(EV\), la valeur \(1\) est exclue, donc on peut faire la division pour tout \(m\) appartenant à \(EV\) et 

\[ S= \Bigg\{ \frac{-2m}{m-1} \Bigg\}\]

Autre exemple

Soit l'équation paramétrique

\[m^3x-8mx -m^2= m-6 -2m^2x\]

On remarque qu'il n'y a pas de fraction, donc pas de valeur à exclure pour éviter une division par \(0\).

\[ED = IR  \qquad  EV = IR\]

Après un peu de calcul littéral, on obtient la forme de base de l'équation.

\[(m^3+2m^2-8m)x = m^2+m-6\]

\[m(m-2)(m + 4) x = (m-2)(m+3)\]

On a envie de diviser par \(m(m-2)(m + 4)\), mais il faut être sûr que ce n'est pas \(0\). Pourtant, les valeurs \(m=0\), \(m=2\) et \(m=-4\) sont permises selon \(EV\). Il faut donc traiter ces cas à part.

• Si \(m=0\), alors l'équation devient \(0 = -6\) et \(S =  \emptyset\)
• Si \(m = 2\), alors l'équation devient \(0 = 0\) et \(S = IR\)
• Si \(m = -4\), alors l'équation devient \(0 = 6\) et \(S =  \emptyset \)
• Si \(m \neq 0, 2, -4\), alors

\[x = \frac{ (m-2)(m+3)}{m(m-2)(m + 4)} = \frac{(m+3)}{m(m+4)} \qquad S= \Bigg\{  \frac{(m+3)}{m(m+4)} \Bigg\}\]

Exemple en physique

Imaginons une barre de 15 cm de long et de masse négligeable. On chercher à calculer la force \(F\) à appliquer à 5 cm de son extrémité gauche selon la position \(d\) du point de pivot et sachant qu'il y a deux autres forces qui agissent à des distances données afin que la barre soit à l'équilibre.

Par équilibre des moments autour du point \(O\), on a

\[ (d-0.02) \cdot 3 + (d-0.05) \cdot F + (d-0.12) \cdot 5 = 0\]

Soit une équation paramétrique d'inconnue \(F\) et de paramètre \(d\). Après un peu de calcul littéral, on obtient la forme de base suivante 

\[(d-0.05) \cdot F = 0.66-8d\]

Pour déterminer \(F\), on a envie de diviser par \((d-0.05)\), mais on doit être sûr que ce n'est pas \(0\) qui est tout de même une valeur permise par l'équation. Il faut donc traiter deux cas.

• Si \(d = 0.05\), alors l'équation devient \(0= 0.31\) et \(S = \emptyset\). Cela signifie qu'il n'y a pas de valeur de \(F\) pour que la barre soit à l'équilibre lorsque le point de pivot est là où s'applique la force \(F\). En effet, la force \(F\) ne crée aucun moment de force dans ce cas là et elle n'est de base pas à l'équilibre avec les deux autres forces.
• Si \(d \neq 0.05\), alors \( F = \frac{0.66-8d}{d-0.05}\) et \(S =\{ \frac{0.66-8d}{d-0.05}\} \). Par exemple, si \(d = 0.07\), on a \(F = 5\). Ou encore, si \(d=0.14\) on a \(F = -5.11\). On constate que selon la valeur de \(d\), \(F\) est orienté vers le bas ou vers le haut.