Dans des problèmes de dénombrement, il faut réfléchir au nombre de choix que l'on a pour chaque choix. Un schéma en arbre peut parfois aider, ne serait-ce que pour mieux comprendre le calcul à faire.

Dans certaines situations, pour des cas pas trop nombreux, on peut aussi faire la liste de tous les cas possibles. 

Quelques exemples

• On désire savoir combien il peut y avoir de résultats différents en lançant 5 fois de suite une pièce et en notant P si elle tombe du côté pile ou F si elle tombe du côté face.
  Lorsqu'on lance la pièce la première fois, il y a 2 possibilités de résultats, pile P ou face F. Et lors des lancés suivants, c'est toujours la même chose. Il y a donc \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5 = 32 \) résultats possibles.

• On désire maintenant choisir un président, un vice président, un greffier et un trésorier dans une assemblée de 20 personnes.
  Pour choisir le président, il y a 20 choix possibles. Pour le vice président, il n'y a plus que 19 choix possibles car on a déjà choisi une personne pour être présidente; cette personne ne peut pas être vice présidente en plus. Et ainsi de suite pour les autres rôles. Il y a donc \(20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 = 116'280\) possibilités.

• Par contre, s'il on désire juste choisir 4 personnes parmi 20, sans tâche associée (sans ordre), le calcul précédent donne trop de possibilités.
  En effet, on a compté \(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\) fois trop de possibilités. Cela correspond au nombre de permutations de ces 4 personnes choisies. Il y a donc \(\frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 4'845\) manières différentes de choisir 4 personnes parmi 20.

Notation

La notation \(n !\) signifie \( n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3) \cdot ...  \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\)

Probabilités

Par définition, la probabilité d'un événement E est le rapport du nombre de cas favorables à l'événement E et du nombre de cas au total.

\[ P(E) = \frac{\textrm{nombre de cas favorables}}{\textrm{nombre de cas au total}} \]

La probabilité d'un événement peut s'exprimer en fraction, en fraction irréductible, ou souvent en pourcentage. 

Par exemple, lorsque l'on lance deux dés, la probabilité d'obtenir une somme de 3 a comme cas favorables (1 ; 2)  et  (2 ; 1) comme résultas des lancés. Il y a donc 2 cas favorables.

Au total, chaque dé peut avoir 6 résultats différents, il y a donc un total de \(6 \cdot 6 = 36 \) cas pour le lancé de deux dés.

\[P(\textrm{Somme de 3}) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18} = 5,56 \% \]

Quelques propriétés

• La probabilité d'un événement est toujours comprise entre 0 et 1 (compris).
• La probabilité d'un événement \(E\) ou de son contraire \(\overline{E}\) fait toujours 1
  \(P(E) + P(\overline{E}) = 1 \Leftrightarrow P(E) = 1- P(\overline{E})\)

• \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)

Lois des grands nombres

Pour simplifier, la loi des grands nombres exprime l'idée que si on répète un nombre élevé de fois une même mesure aléatoire, les résultats que l'on observe se rapprochent des résultats théoriques.

Par exemple, si on lance 1'000 fois une pièce, on devrait avoir environ 500 piles et 500 faces, soit environ une probabilité de 50% pour chaque face.

Si on obtient la situation improbable de 1'000 résultats piles pour 1'000 lancés, c'est qu'il faut lancer la pièce un nombre beaucoup plus grand de fois.

Autre exemple avec le lancé de deux dès.

Compare les résultats de la simulation avec les probabilités théoriques de chaque somme possible.

source : geogebra tube