Un peu de géométrie pour commencer

Une ellipse est une courbe obtenue par l'intersection d'un cône et d'un plan.

A noter que l'intersection peut aussi être une hyperbole ou une parabole selon les positions relatives.

On peut aussi voir l'ellipse comme le lieu géométrique des points tels que la somme des distances à deux points donnés, les foyers, est une constante.

On appelle demi-grand axe \(a\) la moitié de l'axe de symétrie passant par les foyers.

Les lois de Kepler

Première loi de Kepler - Loi des orbites

Les planètes du système solaire décrivent des trajectoires elliptiques dont le Soleil est l'un des foyers.

Deuxième loi de Kepler - Loi des Aires

Des aires égales sont balayées dans des temps égaux.

Troisième loi de Kepler - Loi des périodes

Le carré de la période sidérale \(T\) d'une planète est proportionnelle au cube du demi-grand axe \(a\) de la trajectoire de la planète.

\[T^2 = k \cdot a^3\]

avec \(k\) une constante.

En simplifiant un peu les choses et en prenant une trajectoire circulaire, on peut utiliser la période du mouvement circulaire uniforme \(T = \frac{2 \pi r}{v}\) et l'accélération \(a = \frac{v^2}{r}\). De plus, en utilisant la deuxième loi de Newton \(F = ma\), et la gravitation universelle \(F = G \frac{m_1 \cdot m_2}{d^2}\), on peut calculer la constante \(k\) qui devient

\[k = \frac{4 \pi^2}{G \cdot M}\]

avec \(M\) la masse du Soleil

source : phetcolorado

Astronomie